研究内容

粒子法は計算格子（メッシュ）を必要としないメッシュフリー法の一種であり，自由表面を有する混相流現象や境界の大変形現象に対して極めて有効です．中でも，L.B. Lucy, R.A. Gingold, J.J. Monaghanらによって1977年に開発された Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) 法 は，惑星科学の銀河形成や巨大衝突の計算をはじめ，計算工学のダム決壊，津波遡上，地すべりの計算に至るまで，多岐にわたる分野で幅広く応用されてきました．

一方，従来の古典的SPH法は，流れや変形に伴って計算粒子の配置が乱れると，その離散化精度（計算精度）が著しく低下するという深刻な課題を抱えていました．この要因は，空間離散化式の定式化において「粒子の一様配置」が仮定されていることに起因します．つまり，粒子配置が常に非一様となる実際の流体シミュレーションでは，古典的SPH法の数学的整合性が損なわれており，結果として計算誤差の増大や計算発散などが頻発する傾向にありました．

この精度課題を克服するため，1990年代頃から粒子の一様配置を仮定しない高精度SPH法が数多く提案されてきました．しかし，手法間の関係性や数学的な類似点・相違点を包括的に整理した研究は乏しく，各問題に最適な高精度SPH法を選択することは非常に困難でした．さらに，現在も際限なく"新たな手法"が提案され続けているため，その全貌を理解することはより一層難しくなっています．

このような背景を踏まえ，本研究では多種多様なSPH法の一般化を試み，SPH法の理論的再整備を目的としました．従来のSPH法の定式化について考察を深める中で，「着目粒子における物理量の空間微分値を周辺粒子の情報から近似するプロセスは，最小二乗法に基づく近似手法と本質的に等価である」という新たな視点に至りました．この着想をもとに従来のSPH法の離散化式を見直した結果，古典的SPH法および各種の高精度SPH法が最小二乗法をベースとした単一の数学的枠組みとして統一的に説明可能であることを見出しました．我々はこの最小二乗法に基づく一般化されたSPH法を「最小二乗SPH (Least-Squares SPH, LS-SPH) 法」と名付けました．一般化された枠組みを構築したことで，SPHユーザーは無数に存在する高精度SPHモデルの中からある特定のSPHモデルを選択する必要がなくなりました．さらに，解析対象に応じてユーザー自身が計算精度を任意に制御することが可能となりました．

上記の解析的研究に加え，流体ベンチマークテスト（2次元）を実施することで，最小二乗SPH法の実際の流体計算における妥当性を検証しました．具体的な流体ベンチマークテストとして，剛体壁境界を有するLid-driven cavity flowおよびTaylor–Green vortex flow，自由表面境界を有するOscillating drop testをそれぞれ実施しました(上記の動画1)．これら一連の数値検証を通じて，粒子配置が不規則となる実際の流体解析では，(1) 古典的SPH法の精度が0次精度となる（解像度を向上させても誤差が減らない）一方，(2) 最小二乗SPH法では安定して高い計算精度（少なくとも1次精度以上）が維持されることを示しました．

• 古典的SPH法および既存の高精度SPH法は，最小二乗法という単一の数学的枠組みで統一的に説明可能であることを発見し，一般化されたSPH法「最小二乗SPH (LS-SPH) 法」を開発しました．
• 最小二乗SPH法を用いて，各種SPH法の離散化誤差（打切り誤差）を理論的に評価する手法を確立しました．
• 理論的な誤差評価や流体ベンチマークテストを通じて，古典的SPH法が 0次精度（解像度を向上させても数値誤差が減少しない）であることを明らかにしました．
• 一方，提案する最小二乗SPH法は，少なくとも1次精度以上 であることを解析的および数値的に示しました．